Guarda io uso sempre questo sito per trovare una sistemazione http://www.italian.hostelworld.com. E' buono perchè dopo aver inserito la città e la data ti permette di filtrare la ricerca in base alle tue esigenze(bagni, camere private o camerate, servizi, tipo di struttura, tipi di pagamento, ecc...). Nel tuo caso basta che selezioni nel campo "tipo di camera" Stanza con bagno in camera e Camera doppia con letti singoli e/o camera doppia con letto matrimoniale.
Sinceramente non so che hotel/ostello consigliarti per una camera privata, in quanto io sono sempre andato in camerate comuni.
La centralità della sistemazione è valutata da 0 a 100%.. quindi credo che tutti quelli sopra l'80% - 85% di "posizione" siano da considerare abbastanza centrali.

Comunque credo sia difficile trovare in centro una camera privata, doppia e con bagno in camera a meno di 40€ - 45€ a testa per notte.
Purtroppo il centro te lo fanno pagare! Magari già nella zona di Vondelpark scende di 10€...(piazza dam-vondelpark in bicicletta sono 10-15minuti)

La volta che sono andato al bulldog (che magari si fa pagare pure bene per via del nome) stavo in camerate da 8 con bagno e doccia in camera e ho pagato quasi 30€ a notte. Era molto centrale, a due minuti da piazza dam...

IN BOCCA AL LUPO E DIVERTITEVI!